Le lissage exponentiel désigne des méthodes de lissage de séries chronologiques. L'objectif est de pouvoir établir des prévisions à court terme. Il existe deux types de lissage exponentiel : le simple et le double.
Ces deux méthodes sont présentées étape par étape dans cet article.
Qu'est-ce que la méthode du lissage exponentiel ?
La méthode du lissage exponentiel est une méthode de calcul permettant d'établir des prévisions à court terme.
Comment utiliser le lissage exponentiel simple (LES) ?
Le lissage exponentiel simple est une méthode de prévision à t + 1. Elle est utilisée avec des séries chronologiques sans tendance. Le principe de cette méthode de calcul consiste à accorder une plus grande importance aux dernières observations effectuées.
Avec d'autres méthodes, comme la régression simple, il serait possible de prolonger la série. Avec la méthode du LES, on cherche à obtenir une valeur lissée en t. Une fois cette valeur obtenue, il suffit de la reporter en t + 1.
Cette méthode de calcul est utilisée par exemple en gestion de stocks. Elle s'avère particulièrement utile lorsqu'il faut gérer de très nombreuses références.
Le LES est une méthode plus réactive que les moyennes mobiles. Ceci est dû à sa prise en compte quasiment immédiate de la moindre modification de tendance. Cette formule est aussi utilisée dans le secteur de l'analyse technique. Elle permet alors d'anticiper les cours de la bourse. Elle porte alors le nom de moyenne mobile exponentielle.
1ère étape : les formules de calcul
La méthode du LES emploie la formule ci-dessous :
Se situant entre 0 et 1, le coefficient alpha est applicable à la dernière réalisation. Il correspond à la constante de lissage choisie pour le calcul. Lorsque cette valeur est égale à 1, il suffit de reporter en t + 1 l'observation de la période t.
2e étape : le choix de la prévision initiale
Le LES est basé sur une formule récurrente. Il convient donc de choisir une valeur permettant d'établir Les prévisions. Généralement, cette valeur est la moyenne des deux ou trois premières observations.
3e étape : le choix de la constante de lissage
Le plus souvent, la constante de lissage est définie par un logiciel prévisionnel. Elle peut cependant être choisie.
Exemple de lissage exponentiel simple
La difficulté d'utilisation de cette méthode vient du fait que t renvoie non pas au moment où la prévision devrait se réaliser, mais à celui où elle est effectuée.
Ce qui signifie que pour prévoir une valeur de juin, il faudra additionner une proportion de la réalisation de mai à la proportion complémentaire prévue initialement pour mai.
A ce stade-là, la prévision effectuée pour la période donnée t est identique à celle de t – 1. Il suffit de lui ajouter l'erreur de prévision et, et de la multiplier par le coefficient alpha. La formule complète est donc celle-ci :
Développer la formule
Une fois cette formule posée, il reste à la développer, puis à factoriser par le coefficient alpha. Cette prévision ne peut être appliquée qu'à un horizon t + 1. Calculer des prévisions plus lointaines reviendrait à tomber systématiquement sur les mêmes valeurs.
Que faire s'il existe une saisonnalité ?
Le LES aboutissant parfois à des résultats aberrants, il peut être intéressant de calculer de manière empirique la tendance et la saisonnalité Dans ce cas, le LES prolonge la tendance. Il suffit ensuite d'intégrer la saisonnalité.
Comment utiliser le lissage exponentiel double (LED)?
Cette méthode de prévision est utilisée quand il existe une tendance. Elle permet de s'affranchir du lissage exponentiel simple qui inclut une série chronologique sans tendance quelque ce soit l'horizon. Dès lors qu'il existe une tendance à suivre, le LES ne suffit plus.
L'extrapolation suit une droite représentative d'une fonction affine. La formalisation de la tendance linéaire s'exprime sous la forme y = at + b. Contrairement à une régression linéaire simple, la fonction affine ne se contente pas de résumer les valeurs d'une série chronologique sans les différencier les unes des autres.
Les observations réalisées en dernier sont plus importantes que des observations antérieures, conformément au principe du lissage exponentiel. Il est donc nécessaire de recalculer la fonction de prévision pour toute observation ajoutée. Pour noter cette formule le plus précisément possible, il convient d'utiliser des indices et un chapeautage de la variable estimée. Dans la formule suivante, h désigne l'horizon de la prévision calculée à l'instant t :
Si le LED permet de réaliser des prévisions à plus de t + 1, il est important de garder en tête que le plus petit écart sera repris et amplifié à chaque recul de l'horizon de prévision. Le LED n'est donc valable que dans un contexte de court terme.
1ère étape : commencer par un LES
Il convient de commencer par un premier LES qui porte sur les données. Un deuxième LES portera lui sur les valeurs obtenues. Le double lissage est donc bien présent.
2e étape : choisir la constante de lissage
Comme pour le LES, le LED nécessite de choisir une constante de lissage alpha, dont la valeur se situera obligatoirement entre 0 et 1. Cette valeur permet peu ou prou d'équilibrer la dernière valeur obtenue par rapport aux précédentes. Dans la plupart des cas, le coefficient alpha représentera une petite valeur. En se rapprochant excessivement de 1, le risque de commettre des erreurs de prévision est plus important qu'en utilisant le LES.
3e étape : définir les paramètres d'une tendance
Cette définition se fait simplement, dès lors que les valeurs lissées ont déjà été définies. En effet, la « constante » b correspond à deux fois la valeur lissée moins une fois la seconde valeur lissée.
Le coefficient directeur correspond quant à lui à la soustraction des deux valeurs lissées. Quelles qu'elles soient, il convient de retirer la seconde valeur à la première. Il faut ensuite multiplier le résultat de la soustraction par un coefficient a / (1-a).
Ces différents paramètres ne sont pas choisis au hasard. Ce sont les statistiques qui permettent de les définir, grâce au principe des carrés des erreurs.
Exemple de lissage exponentiel double
L'exemple suivant a été réalisé à partir d'un fichier Excel. Les valeurs des colonnes de lissage simple et double sont calculées de la même manière. Les deux coefficients a et b varient d'un mois à l'autre. L'addition des valeurs permet d'obtenir la valeur t + 1. Il suffit ensuite d'ajouter la dernière valeur obtenue de a à la prévision précédente pour obtenir les horizons de prévision futurs.
Les deux premières observations permettent de commencer les lissages. La deuxième observation permet elle de définir les paramètres des fonctions affines. Cette deuxième observation donne b, alors que a s'obtient en calculant la différence entre b et l'observation précédente.
Source : Lissage exponentiel double
La prévision du mois suivant est donnée par l'addition des paramètres de décembre. Pour poursuivre les calculs, il suffit d'ajouter la valeur du coefficient a à chaque mois.
Les limites du LED
Les prévisions qui se situeraient au-delà de t + 1 montrent bien les limites du LED. Cela tient au fait qu'elles dépendent entièrement de la constante de lissage. Cela dit, elles sont susceptibles de varier considérablement d'un mois à l'autre. Ce qui n'est pas le cas avec une régression simple : le coefficient directeur demeure constant d'une période à l'autre).
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